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Der Satz des Pythagoras

Definition:

Der Satz des Pythagoras ist einer der fundamentalen Sätze der euklidischen Geometrie. Der Satz besagt, dass die Summe des Flächeninhaltes der Kathetenquadrate a² und b² eines rechtwinkligen Dreieckes des Flächinhaltes des Hypotenusenquadrates c² entspricht.

Gleichung:

Als Gleichung ausgedrückt lautet er:

a² + b² = c²

Wobei a und b den längen der Katheten, und c der länge der Hypotenuse, entspricht.

Rechtwinkliges Dreieck
Rechtwinkliges Dreieck

Aussage:

Sind a, b, c die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit c als Hypotenuse, so gilt:

a² + b² = c².

In Worten:

Die Summe der Quadrate über den Katheten ist gleich dem Quadrat über der Hypotenuse.

Die Umkehrung gilt ebenso:

Gilt die Gleichung a² + b² = c² in einem Dreieck, so ist dieses Dreieck rechtwinklig, wobei der rechte Winkel der Hypotenus (Seite c) gegenüber liegt.

Beispiele:

Aus dem Satz des Pythagoras folgt: Die Länge der Hypotenuse ist gleich der Quadratwurzel aus der Summe der Kathetenquadrate, es gilt also:

c = √(a² + b²)

Die einfachste und wichtigste Anwendung des Satzes ist, aus zwei bekannten Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die Dritte zu berechnen. Dies ist durch Umformung der Gleichung für alle Seiten möglich:

a = √(c² - b²)

b = √(c² - a²)

Die Umkehrung des Satzes kann dazu verwendet werden, um zu überprüfen, ob ein gegebenes Dreieck rechtwinklig ist. Dazu wird schlicht getestet, ob die Gleichung des Satzes für die Seiten bei dem gegebenen Dreieck zutrifft. Es reicht also allein die Kenntnis der Seitenlängen eines gegebenen Dreiecks, um daraus zu schließen, ob es rechtwinklig ist:

Seitenlängen 3, 4, 5 => 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52 => Das Dreieck ist rechtwinklig.

Seitenlängen 4, 5, 6 => 42 + 52 = 16 + 25 = 41 ≠ 62 => Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.

In der Praxis wird der Satz des Pythagoras, neben Sinus- und Kosinussatz, auch heute noch vor allem für das Vermessen von Gelände verwendet.


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