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Prinzip von Cavalieri

Das Prinzip von Cavalieri (nach Bonaventura Cavalieri) ist eine Aussage aus der Geometrie. Zwei Körper haben dasselbe Volumen, wenn ihre Schnittflächen mit Ebenen parallel zu einer Grundebene in entsprechenden Höhen den gleichen Flächeninhalt haben. Diese Bedingung beinhaltet auch, dass die beiden Körper dieselbe Höhe haben.

Beispiel Zylinder:

Die Schnitte eines Zylinders mit Ebenen senkrecht zur Rotationsachse sind Kreisscheiben mit Flächeninhalt πr², wenn r den Radius der Grundfläche bezeichnet. Nach dem Prinzip von Cavalieri ist das Volumen des Zylinders gleich dem eines Quaders derselben Höhe h, dessen Grundfläche denselben Flächeninhalt hat, also beispielsweise die Kantenlängen r und πr hat. Das Volumen des Zylinders ist demnach πr²*h.

Beispiel Halbkugel:

Der Schnitt einer Halbkugel vom Radius r mit einer Ebene, die in der Höhe h parallel zur Grundfläche verläuft, ist nach dem Satz von Pythagoras ein Kreis mit Radius

r'=\sqrt{r^2-h^2}

Der Flächeninhalt der Schnittfläche ist demnach

\pi\cdot(r')^2=\pi\cdot(r^2-h^2)

Der Vergleichskörper ist in diesem Beispiel ein Zylinder mit derselben Grundfläche und Höhe wie die Halbkugel, aus dem ein auf der Spitze stehender Kreiskegel herausgeschnitten wurde. Die Schnittfläche in der Höhe h ist ein Kreisring mit äußerem Radius r und innerem Radius h, der Flächeninhalt ist also ebenfalls

\pi\cdot r^2-\pi\cdot h^2=\pi\cdot(r^2-h^2)

Also erfüllen die beiden Körper das Prinzip von Cavalieri und haben daher dasselbe Volumen. Das Volumen des Vergleichskörpers ist die Differenz der Volumina von Zylinder und Kegel, also

\pi\cdotr^2\cdot r-\frac13\cdot\pi\cdot r^2\cdot r=\frac23\pi\cdot r^3

Verdoppelung liefert die bekannte Formel für das Kugelvolumen.Bezug zur Integralrechnung


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